判断一个矩阵是否为正定矩阵有两种方法：求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的；计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。
一、正定矩阵的基本定义
1、广义定义
设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zMz>0，其中z表示z的转置，就称M正定矩阵。
例如:B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)
2、狭义定义
一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zMz>0。其中z表示z的转置。
正弦函数的单调区间
正弦函数即f（x）=sinx的单调增区间是x∈[2kπ-π/2，kπ+π/2]，单调减区间是x∈[2kπ+π/2，2kπ+3π/2]，k∈Z。另外，关于余弦函数即f（x）=cosx的单调增区间是x∈[2kπ-π，2kπ]，单调减区间是x∈[2kπ，2kπ+π]，k∈Z。
二、特征及性质
判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正。
判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶顺序主子式都为正。
判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是:A合同于单位阵。
正定矩阵的性质:
正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。
若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的楚列斯基(Cholesky)分解。
若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。
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